琴弦频率怎么调？《张朝阳的物理课》求解波动方程和计算引力结合能

  琴弦的振动频率如何调节?太阳寿命是多少?形成过程需多久?4月10日12时,《张朝阳的物理课》第四十四期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇直播间,带网友们复习并拓展了上一次线下直播课的内容,求解琴弦波动方程,并根据所求结果介绍如何调节琴弦的频率。此外还从引力结合能的计算出发,估算得到太阳形成所需的时间。

  直播伊始,张朝阳带网友们复习了琴弦的波动方程。设琴弦的质量线密度为μ,长度为a,琴弦的张力为T。琴弦的两端固定。用u(x,t)表示琴弦上处于x位置的质点在t时刻的偏移,那么琴弦的波动方程为:

  在这里,张朝阳借助分离变量法给大家介绍了如何得到琴弦波动方程的一些特解。设u=f(x)g(t),代入波动方程,求导展开之后再除以f(x)g(t)可得:

  等式左边是关于t的函数,等式右边是关于x的函数,因此要想两边相等,则它们必须是同一个常数,设此常数为-α^2,其中α为非负的实数。(注:为什么假设是-α^2而不是α^2呢?原因是多方面的。一方面,如果假设两边常数是正的,那么将会求解得到指数形式的解,这种形式的满足两端为0的解只能是常数0;另一方面,这里的求解过程是先求出一部分特解,然后再检验这部分特解能否组合成满足规定的要求的所有解。)基于这个常数-α^2,能够获得

  张朝阳阐述了一遍他的求解目的:将弦拉离平衡位置后松手,求这根弦的振动形式。整个问题严格表述起来就是,求解波动方程满足边值u(0,t)=u(a,t)=0、且初速度为0的解。上述两个方程的通解都可以写成余弦和正弦的线性组合,不过考虑到边值条件和初速度为0的要求,只选择正弦部分作为f(x)的解、余弦部分作为g(t)的解。于是,可以得到这么一组特解:

  注意,上式暂时忽略了余弦和正弦前面的系数。因为余弦函数的导数是正弦函数,而正弦函数在原点的值为0,所以这样的u(x,t)= f(x)g(t)是满足初始速度为0的条件的。另一方面,f(x)里的正弦函数已经满足在琴弦x=0处为0,还需要满足x=a处为0,于是

  由于波动方程是齐次线性的,特解的线性组合依然是方程的解。那么,是否所有满足边值条件和初速度为0的解都可以由这一组特解线性组合出来呢?张朝阳提示说,这就要使用到傅里叶级数了。对于满足条件的任何解u(x,t),在t=0时u(x,0)是一个满足u(0,0)=u(a,0)=0的连续函数,因此能展开成sin(nπx/a)的傅里叶级数,系数是α_n:

  根据牛顿力学,力学运动的解由初始条件决定了,因此初始时刻等于u(x,0)并且初速度为0(当然,还需要边值等于0)的解是唯一的,所以必然有

  如果上式两端不相等,那就存在两个满足要求的解了,这是违反牛顿力学的。于是,所有满足边值条件和初速度为0的解都可以由这一组特解线性组合出来。

  接着,张朝阳介绍特解u_n的频率。对于每一个固定的x值,对应的质点做简谐振动,圆频率为:

  根据这个公式,当需要将乐器里琴弦的频率调高时,就要拉紧琴弦,增大它的张力T。而若琴弦比较重,质量线密度比较大,根据牛顿第二定律,这样的弦很难振动得快,所以频率会比较低,这样的直观理解也与刚刚推导出来的结果相符。

  (张朝阳讨论琴弦波动方程的解及其频率)空气中的声速: 绝热近似与准静态条件

  其中下标s表示绝热过程。他强调,这个方程的推导过程中,除了假设振幅很小以及u对x的偏导数远小于1之外,还考虑了另外两个近似条件:绝热条件和准静态条件。

  绝热近似强调的是声音振动对空气压缩和拉伸的周期要远小于热传导的时间尺度,从而能够把声音在空气中造成的压缩和膨胀看成是绝热过程。根据这个条件计算得到的声速是:

  其中m_m表示以g/mol为单位的摩尔质量,γ在空气中约等于1.4。牛顿曾经对这样的一个过程认识不足,以为声音压缩空气的过程是等温过程。按等温过程算出来的声速公式会缺少这个γ因子,因此导致其值大约比线%。

  准静态条件,指的是空气足够密集,使得振动时每个质量微元能够维持在平衡态,从而能够对气体的每一个质量微元使用平衡态时的状态方程。当气体很稀薄时,这个近似是不成立的。

  在4月8日的线下课程中,张朝阳曾介绍了太阳寿命的估算。这次课程也带网友们复习了一遍。估算太阳寿命的主要是根据是能量守恒定律。首先要知道太阳的能量来源主要是由氢聚变成氦的过程,假设大约有10%的氢最终变成了氦,则可估算得到太阳总共具有的聚变能约为0.1×0.12×10^46焦耳。太阳的能量主要以光的形式辐射出去,辐射谱是太阳表面温度的黑体辐射谱,因此能根据

  张朝阳介绍说,除了太阳的寿命,还有一个时间尺度很重要,那就是太阳形成所用的时间。“这可以用太阳的引力结合能除以太阳在单位时间内的辐射量来估算。”他进一步解释说,太阳一开始是一团气体,这团气体相互之间的引力结合能可忽略不记。当这团气体塌缩成太阳后,引力势能会释放开来并转化成热量,然后热量会以辐射的形式散发出去。

  当然,太阳形成的那一刻,引力势能产生的所有的热量并非全部辐射出去了,但是辐射出去的那部分占比不小。在直播当中进行的是一个估算,因此假设这部分热量全都辐射了出去,并且辐射的温度就是目前太阳的温度。

  有了这些假设,接下来就需要计算太阳的结合能了。可以把太阳形成的过程看成是一层层的球壳状的气体不断从无穷远处移到太阳的位置的过程,然后将每个球壳微元的引力势能改变加起来就能够获得引力结合能了。因为均匀球壳不会对内部的物质有引力作用,而均匀球壳对球壳外的物质引力等效于球壳质量集中于球心时的引力,因此引力结合能为

  其中M_r表示半径r内的物质质量,dm_r表示半径为r处的球壳微元的质量。在这里,张朝阳又作了一步假设,使得计算可以大幅度简化:假设太阳形成之初的密度为常数ρ,于是

  因为气体还在无穷远处时的引力能量取为0,因此太阳形成后释放开来的引力势能为3GM^2/(5R)。得到了这个能量公式,就可以估算太阳的形成时间了。这里所用的公式与估算太阳寿命时所用的公式类似,只不过式子分母保持不变,而分子换成释放开来的引力势能。

  张朝阳在直播中估算释放开来的引力势能约为4×10^41焦耳,大约是前面估算的太阳可以释放的聚变能的1/250。因此,太阳形成所花费的时间约为其寿命的1/250,大约是4000万年。得到了这个估算结果之后,张朝阳展示了天文学研究中已知的一些恒星形成时间,其中太阳的形成时间约为5000万年,我们的估算结果与此数据很接近。

  (张朝阳在估算太阳形成所花的时间)本次直播课程的结尾,张朝阳和网友们进行了互动,并回答了网友们提出的一些问题。有网友提问到,声音传播过程中,是什么引起了气体压强的变化?张朝阳解释说,空气是一种纵波,振动方向和传播方向平行,因此声音在传播的过程中,有些位置的空气被压缩了,有些位置的空气膨胀了,从而空气在不同位置处的密度会有差异,同时也使得各处的压强改变了。

  因为本次直播课程复习了波动方程,其中用到了偏导数,因此有网友疑问为什么物理中常常会出现偏导数。对此,张朝阳解答说,因为物理中经常需要处理多个变量的函数。比如依赖时空位置的函数,时空是四维的,因此这些函数都是四元函数。考虑这些函数随时间或者随位置的变化关系,就不可避免地遇到偏导数了。

  据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日12时在直播,网友可以在“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放。

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